吴恩达机器学习：异常检测与协同过滤

这是吴恩达机器学习的最后一课，这次学习的内容是机器学习的常见应用，异常检测与协同过滤。课程中介绍的异常检测主要基于 正态分布，用于检测出偏离正常值的数据。而协同过滤是 推荐系统 的一部分，利用已有用户的评分来给你推荐商品、视频等。

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以下是 Ng 机器学习课程第八周的笔记。

异常检测

通常使用异常检测的情况是在一个含有正常和异常的数据集中，异常样本数目远小于正常样本数目，使得无法从异常数据中提取有效的特征。于是只能通过学习正常数据的分布来识别异常数据。具体来说，我们通过数据学习一个概率模型 $p(x)$ ，并通过一个阈值 $\epsilon$ 来判断数据是否异常。从直观上来理解正常数据虽然由于误差等原因有所偏离，但基本都还在一个区域范围内，而异常数据则会离这个区域比较远（如下图，红圈里的可以看做异常值）。
[异常检测]

算法

在异常检测中，假设特征是相互独立的而且服从正态分布 $x_j \sim N(\mu_j,\delta_j^2)$ ，所以：

$p(x)=\prod\limits_{j=1}^np(x_j;\mu_j,\delta_j^2)=\prod\limits_{j=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta_j}e^{-\frac{(x_j-\mu_j)^2}{2\delta_j^2}}$

然后我们只要通过数据计算 $\mu_i$ 和 $\delta_i$ 就可以得到 $p(x)$ 了，于是有如下算法：

选择有助于区分异常数据的特征 $x_i$

分别计算 $\mu_1,...,\mu_n,\delta_1^2,...,\delta_n^2$ ： $\begin{align*} \mu_j &= \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mx_j^{(i)} \\ \delta^2_j &= \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m(x_j^{(i)}-\mu_j)^2 \end{align*}$

对于需要检测异常的数据 $x$ 计算 $p(x)$ ，如果 $p(x) < \epsilon$ 则判断为异常。

算法在特征比较多时计算效率比较高，而且在通常情况下即使特征不独立也能够得到比较好的结果。如果特征比较少并且特征之间又相互关联的情况，这时候我们可以使用 多元正态分布 来作为模型，此时 $p(x)$ 为：

$p(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{k}|\Sigma|}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}$

式中的 $\Sigma$ 为 协方差矩阵，在之前的课程笔记中有提到。

$\epsilon$ 选择

由于我们的数据有 偏斜类 的问题，所以需要用 查准率 和 召回率 的结合 $F_1$ 指数来评价模型，并选取 $F_1$ 取最大时对应的 $\epsilon$ 作为阈值。

协同过滤

假设我们有 $n_m$ 部影片，并且有 $n_u$ 位用户对于其中一些影片的评价 $y^{(i,j)}$ 。
[影片评分]
其中用户对有些影片没有打分，我们希望能够估计这些评分并推荐高分的内容给用户。用户 $j$ 有没有给 $i$ 电影评分记为 $R(i,j)$ 。假设每部电影具有特征向量 $x^{(i)}$ ，对于用户 $(1)$ ，我们像 线性回归 中那样学习一个 $h_\theta(x)=\theta_0^{(1)}+\theta_1^{(1)}x_1+\theta_2^{(1)}x_2+\dots+\theta_n^{(1)}x_n$ 来获取用户没有打分的评分。可以看出对于所有用户，评分表可以表示为电影特征矩阵和用户参数矩阵的乘积：

$X = \begin{bmatrix} — (x^{(1)})^T — \\ — (x^{(2)})^T — \\ \vdots \\ — (x^{(n_m)})^T — \end{bmatrix}, \Theta = \begin{bmatrix} — (\theta^{(1)})^T — \\ — (\theta^{(2)})^T — \\ \vdots \\ — (\theta^{(n_u)})^T — \end{bmatrix}$

预测的评分 $Predicated = X \Theta^T$ ，值得注意的是 $X, \Theta$ 都是未知的，它们都是需要学习的变量。

代价函数

确定了学习模型，下一步就是要设定 代价函数。这次的 代价函数 和之前基本相同，不同的是在计算梯度的时候 $X, \Theta$ 都需要求。下面直接给出 代价函数：

$\begin{array}{l l l} J(x^{(1)},...,x^{(n_m)},\theta^{(1)},...,\theta^{(n_u)}) & = & \frac{1}{2} \sum_{(i,j):r(i,j)=1} \left( (\theta^{(j)})^T x^{(i)} - y^{(i,j)}\right) ^2 \\ & + & \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^{n_m} \sum_{k=1}^n (x_k^{(i)})^2 \\ & + & \frac{\lambda}{2} \sum_{j=1}^{n_u} \sum_{k=1}^n(\theta_k^{(j)})^2 \end{array}$

通过简单的求导可以得到梯度公式：

$\frac{\partial J}{\partial x_k^{(i)}} = \sum_{j:r(i,j)=1} ((\theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})\theta_k^{(j)} + \lambda x_k^{(i)} \\ \frac{\partial J}{\partial \theta_k^{(j)}} = \sum_{i:r(i,j)=1} ((\theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)} + \lambda \theta_k^{(j)}$

和之前的学习算法相同，我们只需要实现 代价函数 的部分并计算梯度值，调用 minimize 函数来获取最优解就可以了。有了 $X, \Theta$ 的值，我们就能够得到预测的评分，通过评分高低就能够进行推荐啦。

课程总结

吴恩达机器学习课程作为对机器学习基本的了解还是不错的。但是课程的内容比较老，像 深度学习、强化学习 等内容都没有涉及，缺乏概率方面的视角，工程方面也只是提了一点点，这些也正是今后需要继续学习的内容。
当驶向 机器学习之海 的时候，感觉心中有一个方向很重要，即便它有多么的不切实际。

So~，第八周的内容就是这些了，谢谢大家耐心阅读。

拼搭小怪

2018-07-07